連分数は関数を近似するときも有効である。

tanz=z／｛１-z^2／｛3-z^2／｛5-z^2／｛7-z^2／｛9-z^2／｛11-・・・｝

の2次近似は

tanz=z(15-z^2)/(15-6z^2)

であるが、これはz=π/4のとき、約0.9998となる。

一方、ベキ級数近似

tanz=z+z^3/3+z^5/5

ではその32倍以上の誤差を生じる。

誤差積分の連分数近似は

(49140+3570z^3+739z^5)/(49140+19950z^3+2475z^5)

で、z=2に対して1.2%の誤差しか生じないが、z^9までのベキ級数近似では110％も大きくなる。

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なお、ｅには何かパターンがありそうに見えますが，πの数の並び方には何のパターンもありません．しかし，単純連分数（分子がすべて１）に限らなければ，

　　π／４＝１／｛１＋１^2／｛２＋３^2／｛２＋５^2／｛２＋７^2／｛２＋９^2／｛２＋・・・｝

これはarctanzの連分数展開において、z=1とおいたものである。

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