■eの連分数展開(その1)

有理数は有限連分数,無理数で代数的数の場合は無限循環連分数,超越数は無限非循環連分数になります.たとえば,超越数eの連分数展開は,

  e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,14,1,1,16,・・・]

と書け,数字の出方が自然数順になっていることがわかります.すなわち,

  e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,・・・,1,2n,1,・・・]

 πの連分数展開

  π=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,3,13,1,4,2,6,6,99,1,2,2,6,3,5,1,1,6,・・・]

にはなんの規則性も見あたらないようにみえます.もちろん,一般項は見つかっていません.10進数表現しても

  e=2.718281827459045・・・

 π=3.141592653589793・・・

eには何かパターンがありそうに見えますが,πの数の並び方には何のパターンもありません.しかし,単純連分数(分子がすべて1)に限らなければ,

  π/4=1/{1+1^2/{2+3^2/{2+5^2/{2+7^2/{2+9^2/{2+・・・}

分子には奇数の平方が並んでいるというパターンを見つけることができます.

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