■整数の平方根の連分数(その4)

【2】2倍性

 その際,周期の最後の数は最初の数q0の2倍に等しい,すなわち,

  √m=[q0;q1,q2,・・・,qn-1,2q0,・・・]

という周期nの連分数展開が得られます.

  √2=[1;2,・・・]

  √3=[1;1,2,・・・]

  √5=[2;4,・・・]

  √6=[2;2,4,・・・]

  √7=[2;1,1,1,4,・・・]

すなわち,どの循環節もqn=2q0=[2√m]で終わっています.

 たとえば,√199の展開

  √199=[14;9,2,1,2,2,5,4,1,1,13,1,1,4,5,2,2,1,2,9,28,・・・]

をみると,14で始まり28で終わるというのもこの理由によります.

 このように,標準無限連分数のうち,部分分母列のあるところから先が巡回的になる循環連分数は2次の無理数(整数係数の2次方程式の解として表される数)に収束します.この性質により,整数項の標準連分数はいわゆるペル方程式:x^2−my^2=d(多くは±1,±4)の解法など整数論の分野で活用されます.

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