有限ゼータ関数は、Nの正の約数ｎに関するｎの逆数の総和として定義されます。

たとえば、

ζ2(s)=1/1^s+1/2^s

ζ3(s)=1/1^s+1/3^s

ζ9(s)=1/1^s+1/3^s+1/3^2s

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【１】乗法性

ζ2(s)ζ9(s)=(1/1^s+1/2^s)(1/1^s+1/3^s+1/3^2s)

=1/1^2+1/2^s+1/3^2+1/6^s+1/9^s+1/18^2=ζ18(s)

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【２】関数等式

ζ2(-s)=1/1^-s+1/2^-s=2^s(1+1/2^s)=2^sζ2(s)

ζ3(-s)=1/1^-s+1/3^-s=3^s(1+1/3^s)=3^sζ3(s)

ζ9(-s)=1/1^-s+1/3^-s+1/3^-2s=9^sζ9(s)

ζ18(-s)=18^sζ18(s)=ζ2(-s)ζ9(-s)

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