【１】ｎと２ｎの間に素数がある

　１８４５年にフランスの数学者ベルトランは任意の数ｎと２ｎの間には少なくとも一つの素数ｐが存在する（ｎ＜ｐ≦２ｎ），同じことですが素数ｐの次の素数は２ｐより小さい（ｐk+1 ＜２ｐk ）という予想を立てました．

　５０年以上たって，ロシアの数学者チェビシェフがベルトランの仮説を証明しました．この証明は彼が実に１８才のときだったそうですから，「栴檀は双葉よりの芳し」の諺のごとくです．チェビシェフの定理によって，素数の分布には何らかの秩序が存在していることになります．

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【１】チェビシェフの証明

　ここではチェビシェフの定理「ｎと２ｎの間に素数がある」の初等的証明を紹介したい．

　　θ（ｘ）＝Σｌｏｇｐ

　　φ（ｘ）＝Σθ（ｘ^1/n）

　区間（ｘ，２ｘ］，ｘ≧３７とする．この区間に素数が存在しなかれば，

　　θ（２ｘ）＝θ（ｘ）

であるが，

　　１．４６ｘ≦θ（２ｘ）＝θ（ｘ）≦１．１３ｘ

となり，矛盾．

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【２】ラマヌジャンの証明

ラマヌジャンは

　　φ（ｘ）−φ（ｘ／２）

　　φ（ｘ）−φ（ｘ／２）+φ（ｘ／３）

を評価することで、ベルトラン予想　　θ（ｘ）−θ（ｘ／２）を解決しました。

　　φ（ｘ）−２φ（√ｘ）≦θ（ｘ）≦φ（ｘ）

　　φ（ｘ）−φ（ｘ／２）≦ｌｏｇｘ！−２ｌｏｇ（ｘ／２）！≦φ（ｘ）−φ（ｘ／２）＋φ（ｘ／３）

　ここで，スターリングの公式より

　　２ｘ／３＜ｌｏｇｘ！−２ｌｏｇ（ｘ／２）！＜３ｘ／４

　　θ（ｘ）−θ（ｘ／２）＞ｘ／６−３√ｘ

ｘ＞３２４に対して，ｘ／６−３√ｘ＞０

ｘ＞１６２に対して，θ（２ｘ）−θ（ｘ）＞０

　ｘ＜１６２のばあいは容易に調べられるので，ｘと２ｘの間には素数が心材するというベルトラン仮説は成り立つことがわかる．

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