２×３＝６列に引き続き，整数の集合を

　２×３×５＝３０列

　２×３×５×７＝２１０列

に並べてみても，同様の現象が観察される．たとえば，３０列に並べた場合，２と３と５以外の素数はすべて1行目，7行目，11行目，13行目，17行目，19行目，23行目，29行目にまとまっている．

　　３５９，３８９，４１９，４４９，４７９，５０９

２１０列に並べた場合，

　　１９９，４０９，６１９，８２９，１０３９，１２４９，１４５９，１６６９，１８７９，２０８９

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このようにして，素数等差数列を得ることができる．セメレディの定理（１９７５年）によると，ある集合の密度が０でなければどのような長さの等差数列もその集合の中に含まれるのである．

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因数分解のアルゴリズムとして

２で割る

３で割る

6を法として1または5と合同である約数を調べることだけが意味がある（6個の整数のうち、2個だけを考えればよい）

５で割る

30を法として1、7，11，13，17, 19，23，29と合同である約数を調べることだけが意味がある（30個の整数のうち、8個だけを考えればよい）

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√Nまでの整数で割る

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３０未満で30と互いに素なすべての数は素数である。

３０より大きないかなる数も、この性質をもたない（例えば、３２は１５より大きくて１５と共通する因子をもたないが、１５は素数ではない)

３０は最初の3つの素数の積２・３・５＝３０である。

２１０は最初の4つの素数の積２・３・５・７＝２１０であるが、１４３＝１１・１３のように、２１０と共通因子をもたない素数の積よりも大きく

２１０未満で210と互いに素なすべての数は素数であるという性質は満たさないのである。

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