なぜ１/７は長さ6の周期をもつのだろうか？

　　１０^k＝１　　(mod7)

となる最小のｋを探して、ｋ＝７−１であることを示すことになるが、ｐが大きいとき、k=1,2,3,・・・と順に探すのは大変である。

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2、5でない素数ｐに対して、

　　ｎ=Πｐi^ni

の１０進展開は、各ｐiに関する１０の位数の最小公倍数に等しい周期をもつ。

すなわち、ki=ordpi^ni(10)をもちいて、周期T=[k1,k2,・・・]

ｎが２、５を含む場合、１０進小数は非循環頭部をもつことになる。

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1/119=1/7・1/17の場合、T=[6,16]=48

1/2737=1/7・1/17・1/23の場合、T=[6,16,22]=528

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［Ｑ］１／９８３を小数展開したとき，循環節の長さが９８２桁になることを証明せよ．

なお、ordp(10)はｐ-1か、ｐ-1の約数である。

ｐ-1となるのが10がｐの原始根であるときで、10は

p=7,17,19,23,29,47,59,61,97などの原始根である。

p=11,13,・・・はordp(10)はｐ-1か、ｐ-1の約数である。

したがって、以下のようになる。

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［Ａ］９８２＝２・４９１であるが，まず，２^491＝？（ｍｏｄ９８３）を定める

　　４９１＝１＋２＋２^3＋２^5＋２^6＋２^7＋２^8

２^2＝４，２^2^2＝１６，２^2^2^3＝１６^2＝２５６，

２^2^2^4＝２５６^2＝−３２５，

２^2^2^5＝３２５^2＝４４４，

２^2^2^6＝４４４^2＝−４４７，

２^2^2^7＝４４７^2＝２６０，

２^2^2^8＝２６０^2＝−２２７　　（ｍｏｄ９８３）

２^491＝２・４・２５６・４４４・（−４４７）・２６０・（−２２７）＝１　　（ｍｏｄ９８３）

２　（ｍｏｄ９８３）の位数は４９１

　同様に

５^2＝２５，５^2^2＝１２５＝−３５８

５^2^2^3＝３５８^2＝３７４，

５^2^2^4＝３７４^2＝２９０，

５^2^2^5＝２９０^2＝５４５，

５^2^2^6＝５４５^2＝１５９，

５^2^2^7＝１５９^2＝−２７７，

５^2^2^8＝２７７^2＝５５　　（ｍｏｄ９８３）

５^491＝５・２５・３７４・５４５・１５９・（−２７７）・５５＝−１　　（ｍｏｄ９８３）

５　（ｍｏｄ９８３）の位数は９８２となり原始根である．

以上より

１０^491＝−１　　（ｍｏｄ９８３）となり，原始根である．→１／９８３を小数展開したとき，循環節の長さが９８２桁になる．

　参考までに，３　（ｍｏｄ９８３）の位数も４９１となる．

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［Ｑ］１／１０９を小数展開したとき，循環節の長さが１０８桁になることを証明せよ．

なお、ordp(10)はｐ-1か、ｐ-1の約数である。

ｐ-1となるのが10がｐの原始根であるときで、10は

p=7,17,19,23,29,47,59,61,97などの原始根である。

p=11,13,・・・はordp(10)はｐ-1か、ｐ-1の約数である。

したがって、以下のようになる。

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［Ａ］１０８＝２・２・３・３・３であるので、この計算は面倒になる。

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