■数の図形数分割(その23)

 まず最初に三角数,四角数,五角数,・・・,m角数について説明しますが,『1から始まる等差数列の最初のn項を足すと,いろいろな多角数が得られる.

  1+1+1+1+1+・・・からは自然数が得られる:1,2,3,4,5,・・・

  1+2+3+4+5+・・・からは三角数が得られる:1,3,6,10,15,・・・

  1+3+5+7+11+・・・からは四角数が得られる:1,4,9,16,25,・・・

  1+4+7+10+13+・・・からは五角数が得られる:1,5,12,22,35,・・・

  1+5+9+13+17+・・・からは六角数が得られる:1,6,15,28,45,・・・』

 一般に,m角数の第n項は,多角形の辺数mは公差よりも2だけ大きいことから,初項1,公差m−2の等差数列の和:

  1/2・n・{2+(m−2)(n−1)}

で与えられることがわかります.

 1/2・n・{2+(m−2)(n−1)}の形の自然数をm角数といいます.すなわち,三角数△nとはn(n+1)/2,四角数□nとはn^2の形の自然数,すなわち平方数です.また,五角数☆nはn(3n−1)/2で表されます.

三角数1/2・n・{n+1}

四角数1/2・n・{2n+0}=n^2

五角数1/2・n・{3n−1}

六角数1/2・n・{4n−2}=n(2n−1)

七角数1/2・n・{5n−3}

八角数1/2・n・{6n−4}=n(3n−2)

 多角数という名前はそれぞれの図形の点の配置に由来するもので,ピタゴラスらが興味をもった図形数ですから,代数的にではなく図形的に考えてみることにしましょう.そうすると,n−1番目の三角数をΔn-1=(n−1)n/2とすると,多角形にΔn-1個の点からなる三角形を追加して作ることができるわけですから

  n+(m−2)Δn-1=1/2・n・{2+(m−2)(n−1)}

とも考えることができるのです.

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五角数はk+3Δk-1あるいはk^2+Δk-1

六角数はk+4Δk-1あるいはΔk+3Δk-1

一般にp角数はk+(p-2)Δk-1で

どの六角数n(2n-1)も三角数である→1/2・(2n)(2n-1)

どの五角数n(3n-1)/2も三角数の1/3である。→1/3・1/2・(3n)(3n-1)

七角数・八角数は三角数ではないが、

k+(p-2)Δk-1で表すことができる。

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