■数の図形数分割(その22)

【1】数の三角数分割

 数の三角数分割(ガウス,1796年)

  n=△+△+△,△=k(k+1)/2

すなわち「すべての整数は3つの三角数の和によって表し得る」

  7=3+3+1=6+1+0

  8=6+1+1

  9=3+3+3=6+3+0

 10=6+3+1

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ガウスの発見は8n+3型整数を3つの奇数の平方の和として表すことを意味している。

まず、奇数の平方が三角数の8倍+1であること

(2k+1)^2=4k^2+4k+1=8Δk+1

もし、n=Δk1+Δk2+Δk3なら、Σ(2km+1)^2=8n+3

の解を得る。

35=4・8+3=1+9+25。

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五角数はk+3Δk-1あるいはk^2+Δk-1

六角数はk+4Δk-1あるいはΔk+3Δk-1

一般にp角数はk+(p-2)Δk-1で

どの六角数n(2n-1)も三角数である→1/2・(2n)(2n-1)

どの五角数n(3n-1)/2も三角数の1/3である。→1/3・1/2・(3n)(3n-1)

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【2】数の平方数分割

「すべての正の整数は高々4個の整数の平方和で表される」というのが,ラグランジュの定理です.

驚くべきことに,7のみならず,任意の自然数がたった4つの平方数の和の形に表せるのです.

  7=2^2+1^2+1^2+1^2

  2=1^2+1^2+0^2+0^2

このことを,シンボリックに書くと

  n=□+□+□+□

となります.□は平方数の意味です.

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r^2=0,1,4 (mod8)

より、

x^2+y^2+z^2=n≠4^k(8m+7)

平均してすべての整数の1/8+1/4/8+1/16/8+・・・=1/6

は3つの平方数の和で表すことができない。

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