オイラーの関数φ（ｎ）は１からｎ−１までの整数のうち，ｎと互いに素になるものの個数として定義されます．

　　φ（４）＝２，φ（６）＝２，φ（８）＝４，φ（１２）＝４

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　Ａ＝｛４ｎ＋１型素数｝　 Ｇ＝｛８ｎ＋３型素数｝　

　Ｂ＝｛６ｎ＋１型素数｝　 Ｈ＝｛８ｎ＋５型素数｝　

　Ｃ＝｛４ｎ−１型素数｝　 Ｉ＝｛８ｎ＋７型素数｝　

　Ｄ＝｛６ｎ−１型素数｝　 Ｊ＝｛１２ｎ＋５型素数｝　

　Ｅ＝｛８ｎ＋１型素数｝　 Ｋ＝｛１２ｎ＋７型素数｝　

　Ｆ＝｛１２ｎ＋１型素数｝ Ｌ＝｛１２ｎ＋１１型素数｝

とおくと，

　　πA（ｘ）〜πB（ｘ）

　　πC（ｘ）〜πD（ｘ）

　　πE（ｘ）〜πF（ｘ）

　　πG（ｘ）〜πH（ｘ）〜πI（ｘ）〜πJ（ｘ）〜πK（ｘ）〜πL（ｘ）

　しかし，これらは漸近的という意味であって，比は１に近づくが，差は無限大に発散する．

　　Ｃ−Ａ→∞

　　Ｄ−Ｂ→∞

　　Ｇ−Ｅ→∞

　　Ｊ−Ｆ→∞

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４ｎ＋１型素数、４ｎ−１型素数の素数間での微妙な差は何に基づいているのだろうか？

４ｎ＋１型素数は平方剰余であり、４ｎ−１型素数はそうではない。そのための2次効果、3次効果の表れなのだろうか？

しかしながら、これらの効果は無限に近づくにつれて消えていき、ディリクレの算術級数定理の正しさが立証されるのである。

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因数分解のアルゴリズムとして

２で割る

３で割る

6を法として1または5と合同である約数を調べることだけが意味がある（6個の整数のうち、2個だけを考えればよい）

５で割る

30を法として1、7，11，13，17, 19，23，29と合同である約数を調べることだけが意味がある（30個の整数のうち、8個だけを考えればよい）

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√Nまでの整数で割る

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