円の面積の三等分に移る前に、鉢型曲線の面積と弧長について考えます。

　固定円の半径が1のとき，ｎ尖点エピサイクロイドとｎ尖点ハイポサイクロイドの間の鉢形曲線は歯車の歯型曲線の設計に用いられます．その周長と面積は

　　Ｌ={(8n+1)+(8n-1)}/n=16

　　Ｓ={(n+1)(n+2)-(n-1)(n-2)}/n・π=６π

ともに，サイクロイド (L=8, S=3π)の２倍になっています．

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サイクロイドの性質はエピサイクロイド・ハイポサイクロイドにも遺伝するというわけですが，カージオイドは対応するハイポサイクロイドをもたないため（周長１６Ｒ，面積６πＲ^2）になると考えられるのです．

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