■円分方程式の因数分解(その25)

【1】原始根

nを奇素数とする,nで割り切れない任意の数aに対し,

  a,a^2,a^3,・・・,a^n-1  (modn)

を作る.このとき,常に

  a^n-1=1  (modn)

が成立するが,aのベキの次数がn−1に到達する以前に,小さな次数kに対して 

  a^k=1  (modn)

が成立することがある.

 逆に,n−1で初めて

  a^n-1=1  (modn)

が起こることもあり,そのような数aを法nに関する原始根とよぶ.すなわち,原始根の周期はn−1といえるのである.どのような奇素数nに対しても法nに関する原始根は存在する(ガウス).

 n=5,a=2の場合を調べてみると

  2^1=2,2^2=4,2^3=3,2^4=1

→2は法5に関する原始根である.ord5(2)=4

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z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)

z^4+z^3+z^2+z+1=0

となる4つのzの値を求めたい。

5の原始根は2である。2,4,3,1の項の順番にしたがって、

z+z^2+z^3+z^4=r1+r2=-1

r1=z^2+z^3, r2=z^4+z^1

とベキ指数を結合する。このとき、

r1・r2=z^6+z^3+z^7+z^4=z^1+z^3+z^2+z^4=-1

r1+r2=-1より、

r1=-g,r2=1/g

z+z^2+z^3+z^4=r1+r2=1/g-g=-1

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n=17の場合は、ガウスが17の原始根をつかって、そして17-1=16が2のベキであることを使って初めて解いた。

z^17-1=(z-1)(z^16+z^15+・・・+z+1)

コラム「指数合同式(その2)」

3^0=1、3^1=3,3^2=9,3^3=10,3^4=13,

3^5=5,3^6=15,3^7=11,3^8=16,

3^9=14,3^10=8,3^11=7,3^12=4,

3^13=12,3^14=2,3^15=6,3^16=1

であるから、m=17,g=3に対し

ind3(1)=0,ind3(2)=14,ind3(3)=1,ind3(4)=12

ind3(5)=5,ind3(6)=15,ind3(7)=11,ind3(8)=10

ind3(9)=2,ind3(10)=3,ind3(11)=7,ind3(12)=13

ind3(13)=4,ind3(14)=9,ind3(15)=6,ind3(16)=8

→3は法17に関する原始根である.

項の順番にしたがって、2群に分けると

z^3+z^10+z^5+z^11+z^14+z^7+z^12+z^6=z^3+z^-7+z^5+z^-6+z^-3+z^7+z^-5+z^6

z^9+z^13+z^15+z^16+z^8+z^4+z^2+z^1=z^-8+z^-4+z^-2+z^-1+z^8+z^4+z^2+z^1

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コラム「原始根と原始根予想(その9)」

 n=17,a=10の場合を調べてみると

10^1=10,10^2=15,10^3=14,10^4=4,

10^5=6,10^6=9,10^7=5,10^8=16,

10^9=7,10^10=2,10^11=3,10^12=13,

10^13=11,10^14=8,10^15=12,10^16=1

→10は法17に関する原始根である.ord17(10)=16

項の順番にしたがって、2群に分けると

z^10+z^14+z^6+z^5+z^7+z^3+z^11+z^12=z^-7+z^-3+z^6+z^5+z^7+z^3+z^-6+z^-5

z^15+z^4+z^9+z^16+z^2+z^13+z^8+z^1=z^-2+z^4+z^-8+z^-1+z^2+z^-4+z^8+z^1

どちらも同じ結果となった。

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a=z^3+z^10+z^5+z^11+z^14+z^7+z^12+z^6=z^3+z^-7+z^5+z^-6+z^-3+z^7+z^-5+z^6

b=z^9+z^13+z^15+z^16+z^8+z^4+z^2+z^1=z^-8+z^-4+z^-2+z^-1+z^8+z^4+z^2+z^1

a+b=-1はよいとして、ab=-4となることを確認してみたい。

b=z^1+z^2+z^4+z^8+z^9+z^13+z^15+z^16

a=z^3+z^5+z^6+z^7+z^10+z^11+z^12+z^14

ab=z^4+z^5+z^7+z^11+z^12+z^16+z^1+z^2

z^6+z^7+z^9+z^13+z^14+z^1+z^3+z^4

z^7+z^8+z^10+z^14+z^15+z^2+z^4+z^5

z^8+z^9+z^11+z^15+z^16+z^3+z^5+z^6

z^11+z^12+z^14+z^1+z^2+z^6+z^8+z^9

z^12+z^13+z^15+z^2+z^3+z^7+z^9+z^10

z^13+z^14+z^16+z^3+z^4+z^8+z^10+z^11

z^15+z^16+z^1+z^5+z^6+z^10+z^12+z^13=-4

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