■ビーティ―数列(その2)

{an}={1,3,4,6,8,9,11,・・・}

{bn}={2,5,7,10,13,15,18,・・・}

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【4】相補的・排他的3数列の非存在

 1/α+1/β=1→β=α/(α−1)より,αとβは両方とも有理数か両方とも無理数のどちらかですか,両方とも無理数のとき,整数を分割するわけです.すなわち,実数αのスペクトルを,整数の集合

  Spec(α)={[α],[2α],[3α],・・・}α

で定義すると,α,βが無理数で1/α+1/β=1を満たすとき,そのときに限り,Spec(α)とSpec(β)は整数を分割するのですが,それでは,

(Q)Spec(α),Spec(β),Spec(γ)が整数を分割するような実数α,β,γは存在するでしょうか?

(A)不可能(存在しない).

 レイリーの定理は,

  1/α+1/β+1/γ=1

かつ

  {(n+1)/α}+{(n+1)/β}+{(n+1)/γ}=1

のとき,そのときに限り3分割が起こることを示している.

 しかし,ワイルの一様分布定理から,δが無理数のとき,{(n+1)/δ}の平均値は1/2である→矛盾.δが有理数(m/n)ならば,平均値は3/2−1/(2n)→矛盾.δが整数の場合もうまくいかない.すなわち,存在しないことを示している.

相補的・排他的数列となるのは,

[1]2系列

[2]1/α1+1/α2=1

[3]α1は無理数

の場合に限られるのである.

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