■独立な性質? (その3)

2つのランダムに選んだ整数がたがいに素である確率は6/π^2である。

また、与えられた整数に2乗因子がない(2乗で割れない)確率もが6/π^2である。

この2つの性質は独立なのだろうか?

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独立ではなく正の相関があると考えられている。

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2つ以上のランダムに選んだ整数がたがいに素である確率は1/ζ(k)である。

また、与えられた整数に3乗因子がない,4乗因子がない(k乗で割れない)確率も1/ζ(k)である

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【補】互いに素となる整数

 2つの無作為に選んだ整数が互いに素である確率は1/ζ(2)=6/π^2 (61%)となることを説明もなしに述べましたが、ここで解説することにします。

 1つの数が素数pi によって割り切れる確率は1/pi 、両方の数が同じ素数で割り切れる確率は1/pi^2になります。2つの数がどちらもpi で割り切れない確率は1−1/pi^2ですから、互いに素である確率はΠ(1−1/pi^2)。

ここで、Π1/(1−1/pi^2 )=Π(1+1/pi^2+1/pi^4+・・・)=Σ1/n^2 =ζ(2)

 したがって、2つの整数が互いに素である確率は1/ζ(2)=6/π^2 (0.608)、

同様にして3つの整数が互いに素である確率は1/ζ(3)=0.832、4つの整数が互いに素である確率は1/ζ(4)=90/π^4 (0.9239)を得ることができます。

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