■ディリクレの算術級数定理(その5)

 オイラーの関数φ(n)は1からn−1までの整数のうち,nと互いに素になるものの個数として定義されます.

  φ(4)=2,φ(6)=2,φ(8)=4,φ(12)=4

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 A={4n+1型素数}  G={8n+3型素数} 

 B={6n+1型素数}  H={8n+5型素数} 

 C={4n−1型素数}  I={8n+7型素数} 

 D={6n−1型素数}  J={12n+5型素数} 

 E={8n+1型素数}  K={12n+7型素数} 

 F={12n+1型素数} L={12n+11型素数}

とおくと,

  πA(x)〜πB(x)

  πC(x)〜πD(x)

  πE(x)〜πF(x)

  πG(x)〜πH(x)〜πI(x)〜πJ(x)〜πK(x)〜πL(x)

 しかし,これらは漸近的という意味であって,比は1に近づくが,差は無限大に発散する.

  C−A→∞

  D−B→∞

  G−E→∞

  J−F→∞

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4n+1型素数、4n−1型素数の素数間での微妙な差は何に基づいているのだろうか?

4n+1型素数は平方剰余であり、4n−1型素数はそうではない。そのための2次効果、3次効果の表れなのだろうか?

しかしながら、これらの効果は無限に近づくにつれて消えていき、ディリクレの算術級数定理の正しさが立証されるのである。

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