■ミルズの公式とルジャンドル予想(その3)

n<p≦2nの間には常に1個の素数がある

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n<p≦2nの間には常に1個の素数があるという1845年のベルトラン仮説を1850年,チェビシェフが証明した.今回のコラムではこれを使って,

  [2^b],[2^2^b],[2^2^2^b],・・・

がすべて素数となる定数b〜1.25が存在するという証明を紹介したい.

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【1】証明

 p1=2とし,pnを2^Pn-1より大きい最も小さい素数する.このとき,ベルトラン仮説より

  2^Pn-1<pn≦2^Pn-1+1

である.

  b=loglog・・・(pn)=log^n(pn)

とすればよい.n→∞のとき,b→1.2516475977905・・・であって,

  p1=2,p2=5,p3=37,p4=2^37+9

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