■数の図形数分割(その18)

 「m角数定理」とは「すべての自然数はたかだかm個のm角数で表せる」というものです.この定理で,m=3の場合がガウスの定理「n=△+△+△」,m=4の場合がラグランジュの定理「n=□+□+□+□」に相当します.m=5の場合が五角数定理「n=☆+☆+☆+☆+☆」の相当するわけですが,フェルマーが遺して後世を悩ましていたこの命題は,オイラー,ラグランジュ,ルジャンドルなどの研究を経て,1813年,コーシーが証明しセンセーションを巻き起こしました.

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任意の整数m=・・・の右辺をm1^2+m2^2+m3^2+m4^2の形に表すことはできないだろうか?

三角数1/2・n・{n+1}

四角数1/2・n・{2n+0}=n^2

五角数1/2・n・{3n−1}

六角数1/2・n・{4n−2}=n(2n−1)

七角数1/2・n・{5n−3}

八角数1/2・n・{6n−4}=n(3n−2)

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たとえば、六角数の場合、

N=i(2i-1)+j(2j-1)+k(2k-1)+l(2l-1)+m(2m-1)+n(2n-1)

N+i+j+k+l+m+n=2i^2+2j^2+2k^2+2l^2+2m^2+2n^2

しかし、これをm1^2+m2^2+m3^2+m4^2の形に表すことは難しい

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x^6+y^6+z^6+u^6+v^6+w^6−6xyzuvw

=(x^2+y^2+z^2)/2・{(y^2−z^2)^2+(z^2−x^2)^2+(x^2−y^2)^2}+(u^2+v^2+w^2)/2・{(v^2−w^2)^2+(w^2−u^2)^2+(u^2−v^2)^2}+3(xyz−uvw)^2

を使っても解けそうにない.

x^6+y^6+z^6+u^6+v^6+w^6

=(x^2+y^2+z^2)/2・{(y^2−z^2)^2+(z^2−x^2)^2+(x^2−y^2)^2}+(u^2+v^2+w^2)/2・{(v^2−w^2)^2+(w^2−u^2)^2+(u^2−v^2)^2}+3(xyz)^2+3(uvw)^2

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上の式は

a^2+b^2−2ab=(a−b)^2

a^3+b^3+c^3−3abc=(a+b+c){(a−b)^2+(b−c)^2+(c−a)^2}/2

a^4+b^4+c^4+d^4−4abcd=(a^2−b^2)^2+(c^2−d^2)^2+2(ab−cd)^2

の拡張である。

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 ピタゴラスの問題a^2 +b^2 =c^2 を拡張する方向としては、一つには未知数の個数を増すこと(a^2 +b^2 +c^2 =d^2 、あるいは一般に、x1^2+x2^2+・・・+xn^2=y^2 を解くこと)、

もう一つには指数を大きくすること(a^3 +b^3 =c^3 、あるいは一般に、a^n +b^n =c^n を解くこと)になります。

前者の解としては、x1 =−a1^2+a2^2+・・・+an^2,x2 =2a1a2,x3 =2a1a3,・・・,xn =2a1anとすれば、(a1^2+a2^2+・・・+an^2)^2 =y^2 となります。

後者は有名なフェルマーの問題でこれには整数解がないことが証明されています。

しかし、前者を使っても解けそうにない.

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