■数の図形数分割(その15)

 「m角数定理」とは「すべての自然数はたかだかm個のm角数で表せる」というものです.この定理で,m=3の場合がガウスの定理「n=△+△+△」,m=4の場合がラグランジュの定理「n=□+□+□+□」に相当します.m=5の場合が五角数定理「n=☆+☆+☆+☆+☆」の相当するわけですが,フェルマーが遺して後世を悩ましていたこの命題は,オイラー,ラグランジュ,ルジャンドルなどの研究を経て,1813年,コーシーが証明しセンセーションを巻き起こしました.

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任意の整数m=・・・の右辺をm1^2+m2^2+m3^2+m4^2の形に表すことはできないだろうか?

三角数1/2・n・{n+1}

四角数1/2・n・{2n+0}=n^2

五角数1/2・n・{3n−1}

六角数1/2・n・{4n−2}=n(2n−1)

七角数1/2・n・{5n−3}

八角数1/2・n・{6n−4}=n(3n−2)

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たとえば、六角数の場合、

N=i(2i-1)+j(2j-1)+k(2k-1)+l(2l-1)+m(2m-1)+n(2n-1)

N+i+j+k+l+m+n=2i^2+2j^2+2k^2+2l^2+2m^2+2n^2

しかし、これをm1^2+m2^2+m3^2+m4^2の形に表すことは難しい

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