最小のカーマイケル数は５６１＝３・１１・１７であるが，以下，

　　１１０５，１７２９，２４６５，２８２１，６６０１，８９１１，１０５８５，・・・

と続く．カーマイケル数が無限にあるのか否かは長く不明であったが，１９９４年，アールフォルス，グランヴィル，ポメランスは十分大なるｘについて＞ｘ^2/7であることを示し，無限に存在することが証明されている．

カーマイケル数が発覚したため，現在の素数判定には新しい手法が使われている．たとえば，AKS判定法では100％の正確さで素数を見分けられるとされている．

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