（Ｑ）（Ｐn-1）^2（ｎ^2）！／Ｐ2n-1

は整数であることを証明せよ．

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［１］ｎ＝２のとき，Ｐ1^2４！/Ｐ3＝Ｐ1^2４！/１！２！３！は整数

［２］ｎ＝ｋのとき，

（Ｐk-1）^2（ｋ^2）！／Ｐ2k-1＝（１）！・・・（ｋ-1）！（ｋ^2）！／｛ｋ！・（ｋ+1）！・・・（2ｋ-1）！｝が整数であるとする．

［３］（Ｐk）^2（(ｋ+1)^2）！／Ｐ2k+1＝（１）！・・・（ｋ）！(ｋ+1)^2！／｛(k+1)！・(k+2)！・・・（2ｋ＋１）！｝

＝（１）！・・・（ｋ-1）！（ｋ^2）！／｛ｋ！・（ｋ+1）！・・・（2ｋ-1）！｝・k!{(k+1)^2}!/(k^2)!・k!/(2k)！(2k+1)！

＝（Ｐk-1）^2（ｋ^2）！／Ｐ2k-1・k!{(k+1)^2}!/(k^2)!・k!/(2k)！(2k+1)！

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（その１８）の

（Ｑ）ａ＋ｂ＋・・・＋ｌ＝ｎとおく．このことを適用して

　　ｎ！／ａ！ｂ！・・・ｌ！

が整数であることを証明せよ．

（Ａ）素数ｐはｎ！，ａ！，ｂ！，・・・，ｌ！をそれぞれ

　　［ｎ／ｐ］＋［ｎ／ｐ^2］＋・・・

　　［ａ／ｐ］＋［ａ／ｐ^2］＋・・・

　　［ｂ／ｐ］＋［ｂ／ｐ^2］＋・・・

　　［ｌ／ｐ］＋［ｌ／ｐ^2］＋・・・

で割り切る．しかも，

　　［ｎ／ｐ^s］≧［ａ／ｐ^s］＋［ｂ／ｐ^s］＋・・・＋［ｌ／ｐ^s］

であることよりＱＥＤ．を用いると

（Ａ）素数ｐは{(k+1)^2}!，k^2！，ｋ！，２ｋ！，（２ｋ＋１）！をそれぞれ

　　［(k+1)^2／ｐ］＋［(k+1)^2／ｐ^2］＋・・・

　　［k^2／ｐ］＋［k^2／ｐ^2］＋・・・

　　［ｋ／ｐ］＋［ｋ／ｐ^2］＋・・・

　　［2ｋ／ｐ］＋［2ｋ／ｐ^2］＋・・・

　　［（２ｋ＋1）／ｐ］＋［（２ｋ＋１）／ｐ^2］＋・・・

で割り切る．しかも，

　　［(k+1)^2／ｐ^s］＋［ｋ／ｐ^s］＋［ｋ／ｐ^s］≧［k^2／ｐ^s］＋［2ｋ／ｐ^s］＋［（２ｋ＋1）／ｐ^s］

であることよりＱＥＤ．

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