■オイラーのトーシェント関数(その26)

[Q](2a)!(2b)!/a!b!(a+b)!は整数であることを証明せよ.

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(その18)の

(Q)a+b+・・・+l=nとおく.このことを適用して

  n!/a!b!・・・l!

が整数であることを証明せよ.

(A)素数pはn!,a!,b!,・・・,l!をそれぞれ

  [n/p]+[n/p^2]+・・・

  [a/p]+[a/p^2]+・・・

  [b/p]+[b/p^2]+・・・

  [l/p]+[l/p^2]+・・・

で割り切る.しかも,

  [n/p^s]≧[a/p^s]+[b/p^s]+・・・+[l/p^s]

であることよりQED.を用いると

(A)素数pは2a!,2b!,a!,b!,(a+b)!をそれぞれ

  [2a/p]+[2a/p^2]+・・・

  [2b/p]+[2b/p^2]+・・・

  [a/p]+[a/p^2]+・・・

  [b/p]+[b/p^2]+・・・

  [(a+b)/p]+[(a+b)/p^2]+・・・

で割り切る.しかも,

  [2a/p^s]+[2b/p^s]≧[a/p^s]+[b/p^s]+[(a+b)/p^s]

であることよりQED.

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