■オイラーのトーシェント関数(その25)

[Q](4a)!(4b)!/a!b!(2a+b)!(a+2b)!は整数であることを証明せよ.

[A]

N1=(4a+4b)!/a!b!(2a+b)!(a+2b)!は整数である.

N2=(4a+4b)!/(4a)!(4b)!は整数である.

しかし,

 N=N1/N2=(4a)!(4b)!/a!b!(2a+b)!(a+2b)!

が整数であるとは限らない.

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 a≧bとしても一般性は失われない.帰納法を使ってみると

[1]b=0のとき,(4a)!/(2a)!a!

(4a)!/(2a)!a!a!は整数であるから,(4a)!/(2a)!a!も整数.

[2]N=(4a)!(4b)!/a!b!(2a+b)!(a+2b)!

=(2a+b+1)(2a+b+2)・・・(4a)(b+1)(b+2)・・・(4b)/a!(a+2b)!

は整数であるとする.

M=(4a)!(4b+4)!/a!(b+1)!(2a+b+1)!(a+2b+2)!

M/N=(4b+1)(4b+2)(4b+3)(4b+4)/(b+1)(2a+b+1)(a+2b+1)(a+2b+2)

=4(4b+1)(4b+2)(4b+3)/(2a+b+1)(a+2b+1)(a+2b+2)

 M=4(4b+1)(4b+2)(4b+3)N/(2a+b+1)(a+2b+1)(a+2b+2)

N/(2a+b+1)(a+2b+1)(a+2b+2)が整数であればよいことになるが,

a!(a+2b)!N=(2a+b+1)(2a+b+2)・・・(4a)(b+1)(b+2)・・・(4b)

a!(a+2b)!N/(2a+b+1)(a+2b+1)(a+2b+2)=(2a+b+2)・・・(4a)(b+1)(b+2)・・・(4b)/(a+2b+1)(a+2b+2)

において,1,・・・,a,・・・,a+2b,は(a+2b+1),(a+2b+2)では割り切れない

3b+1≦(a+2b+1)≦3a+1≦4a

3b+2≦(a+2b+2)≦3a+2≦4a

→Nは(2a+b+1)(a+2b+1)(a+2b+2)で割り切れる→Mは整数

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