■2次合同式(その1)

x^2=b (modp)

を考える。

p=7,b=2に対してFp={1,2,3,4,5,6}として、

{1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,6^2}={1,4,2,2,4,1} (mod7)

であるから、その解はx=3またはx=4である。

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p=7,b=1に対しては解は存在する。

p=7,b=2に対しては解は存在する。

p=7,b=4に対しては解は存在する。

一方、

p=7,b=3に対しては解は存在しない。

p=7,b=5に対しては解は存在しない。

p=7,b=6に対しては解は存在しない。

前者のbをpを法とする平方剰余、後者のbを平方非剰余という。

0を数えなければ、(p-1)/2個の平方剰余Rと(p-1)/2個の平方非剰余Nが存在し、

R・R=R、R・N=N、N・R=N、N・N=R

となる。すなわち、Rを+、Nを-に対応させることができる。

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N・N=R

5・6=30=2  (mod7)

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