■漸化式(その4)

 a0=1,a1=3

an=2an-1+an-2 (n≧2)

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f(x)=Σanx^n=a0+a1x+Σanx^n (n≧2)

=a0+a1x+2xΣan-1x^n-1+x^2Σan-2x^n-2 (n≧2)

=a0+a1x+2x{f(x)-a0}+x^2f(x)

=1+3x+2x{f(x)-1}+x^2f(x)

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f(x)=(1+x)/(1-2x-x^2)=(1/2)/(1-αx)+(1/2)/(1-βx)

α=1+√2、β=1-√2

an=1/2・{α^n+1+β^n+1}

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 この数列{Fn}の通常型母関数f(x)は

    f(x)=F0+F1x+F2x^2+F3x^3+・・・

   2xf(x)=  2F0x+2F1x^2+2F2x^3+・・・

  x^2f(x)=       F0x^2+F1x^3+・・・

また,Fn=2Fn-1+Fn-2より

  f(x)=(1+x)/(1−2x−x^2)=ΣFnx^n

と簡単な式になります.このほうが間違いが少ないと思われます。

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