（Ｑ）（Ｐn-1）^2（ｎ^2）！／Ｐ2n-1

は整数であることを証明せよ．

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［１］ｎ＝２のとき，Ｐ1^2４！/Ｐ3＝Ｐ1^2４！/１！２！３！は整数

［２］ｎ＝ｋのとき，

（Ｐk-1）^2（ｋ^2）！／Ｐ2k-1＝（１）！・・・（ｋ-1）！（ｋ^2）！／｛ｋ！・（ｋ+1）！・・・（2ｋ-1）！｝が整数であるとする．

［３］（Ｐk）^2（(ｋ+1)^2）！／Ｐ2k+1＝（１）！・・・（ｋ）！(ｋ+1)^2！／｛(k+1)！・(k+2)！・・・（2ｋ＋１）！｝

＝（１）！・・・（ｋ-1）！（ｋ^2）！／｛ｋ！・（ｋ+1）！・・・（2ｋ-1）！｝・k!{(k+1)^2}!/(k^2)!・k!/(2k)！(2k+1)！

＝（Ｐk-1）^2（ｋ^2）！／Ｐ2k-1・k!{(k+1)^2}!/(k^2)!・k!/(2k)！(2k+1)！

＝（Ｐk-1）^2（ｋ^2）！／Ｐ2k-1・(k+1)^2}!/(k^2)!{(k+1)(k+2)・・・(2k)}^2(2k+1)

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(k+1)^2}!/(k^2)!(2k+1)！は整数

(k!)(k!)/(2k)！は1/整数

(k+1)^2}!/(k^2)!(2k+1)！=(k^2+1)(k^2+2)・・・(k^2+2k+1)/(2k+1)！

(k!)(k!)/(2k)！=(k!)/(k+1)(k+2)・・・(k+k)

これらを掛け合わせると

(k^2+1)(k^2+2)・・・(k^2+2k+1)/{(k+1)(k+2)・・・(2k)}^2(2k+1)

分子は(2k)!で割り切れる

分母は(k!)^2で割り切れる

(2k)!は(k!)^2で割り切れる　　(QED)

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