■オイラーのトーシェント関数(その3)

[Q]100!/10^25は整数であるか?

[A]10は2と5の倍数である.1から100までの間に2の倍数はたくさんあるが,5の倍数はいくつあるだろうか?

  [100/5]=20

 25,50,75などは25で割り切れて,ここにもうひとつ,5の倍数が隠れていると考えると

  [100/5]+[100/5^2]=20+4=24

 5の倍数の個数=10の倍数の個数と考えることができるから,10の倍数は24個.したがって,100!/10^24は整数であるか,100!/10^25は整数とはならない.

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[Q]1000!/10^250は整数であるか?

[A]同様にして,

  [1000/5]+[1000/5^2]+[1000/5^3]+[1000/5^4]=200+40+8+1=249

 10の倍数は249個.したがって,1000!/10^249は整数であるか,1000!/10^250は整数とはならない.

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