ｎの高々ｋ個の分割（あるいは高々ｋ個の意サイズをもつ部分に分ける分割）をｐk（ｎ）と書くことにすると

ｐ2（ｎ）＝[(n+1)/2]

ｐ3（ｎ）＝(n+3)^3/12に最も近い整数となる。

これを一般化すると

ｐｋ（ｎ）〜ｎ^(k-1)/ｋ！（ｋ-1）！

が得られる。

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ｐ3（ｎ）ｑ^n=1/(1-q)(1-q^2)(1-q^3)

=1/6(1-q)^3+1/4(1-q)^2+1/(1-q^2)+1/3(1-q^3)

=1/12Σ(n+2)(n+1)q^n+1/4Σ(n+1)q^n+1/4Σq^2n+1/3Σq^3n

=Σ(1/12(n+3)^3-1/3)q^n+1/4Σ(n+1)q^n+1/4Σq^2n+1/3Σq^3n

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x1+x2+x3=n,x1≧x2≧x3≧0の解の個数をa3(n)とおくと、a3(n)=p3(n+3)

また、y3=x3,y2=x2-x3,y1=x2-x1とおくと、a3(n)は

y1+2y2+3y3=n,y1≧0,y2≧0,y3≧0の解の個数と等しくなる。

したがって、

Σa3(n)x^n=(1-x)^-1(1-x^2)^-1(1-x^3)^-1

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ω=exp(2πi/3)とおいて、部分分数分解すると

Σa3(n)x^n=1/6(1-x)^-3+1/4(1-x)^-2+17/72(1-x)^-1+1/8(1+x)^-1+1/9(1-ωx)^-1+1/9(1-ω^2x)^-1

a3(n)=1/12(n+3)^2-7/72+1/8(-1)^n+1/9(ω+ω^2)

|a3(n)-1/12(n+3)^2|≦7/72+1/8+7/72+2/9＜1/2

以上より、ｐ3（ｎ）＝(n+3)^3/12に最も近い整数となる。

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