ｎ＝２４３の場合，ｐ（２４３）＝１３３９７８２５９３４４８８８に対して

　　p(n)〜exp(π√(2n/3))/4n√3〜１．３８×１０^14

　ラマヌジャンはp(n)が満たす合同式について

　　ｐ（５ｎ＋４）＝０　　ｍｏｄ５

　　ｐ（７ｎ＋５）＝０　　ｍｏｄ７

　　ｐ（１１ｎ＋６）＝０　　ｍｏｄ１１

　　ｐ（５９９）＝０　　ｍｏｄ５^3

　　ｐ（７２１）＝０　　ｍｏｄ１１^2

　　ｐ（２５ｍ＋２４）＝０　　（ｍｏｄ５^2）

　　ｐ（１２５ｍ＋９９）＝０　　（ｍｏｄ５^3）

　　ｐ（４９ｍ＋４７）＝０　　（ｍｏｄ７^2）

を予想し，それらを証明しています．

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【５】粗い近似と詳しい近似

　ｐ（１００）＝１９０５６９２９２

［１］p(n)　〜　1/4n√(3)exp(π√(2n/3))（１＋Ｏ（ｎ^-1/2）

　ｐ（１００）〜１．９９３×１０^8

［２］p(n)　〜　1/4n√(3)exp(π√(2n/3))（１−１／π・√３／２ｎ）（１＋Ｏ（ｘｅｘｐ（−π√(n/6)）

　　ここで，ｎ←ｎ−１／２４

　ｐ（１００）〜１．９０５６８９４４．７８３

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　ここで，p(n)はオイラーの分割関数とも呼ばれますが，定義が簡単そうにみえるにも関わらず，分割数を表す簡単な公式はありません．p(n)の正確な公式は，ラーデマッハーの公式（１９３７年）

　　p(n)=1/π√2ΣAk(n)k^(1/2){d/dxsinh(π(2/3(x-1/24))^(1/2)/(x-1/24)^(1/2))

によって与えられます．ここで，Ak(n)は１の２４乗根をもちいて明示的に与えることができます．

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【２】分割数の近似式

　p(n)を評価する問題は数論において研究されていて，ラマヌジャンが予想した注目すべき漸近近似式

　　p(n)　〜　1/4n√(3)exp(π√(2n/3))

は，１９１８年，ハーディーとラマヌジャンによって，円周法を用いて証明が与えられています．

　実は，円周法に基づく漸近公式の結果を正確に証明するだけでも，長くてこみ入った理論が必要になります．そこで漸近公式の概要だけを簡単に述べますが，σ(k)をｋの約数の和とすると，p(n)に対する漸化式

　　p(n)=1/nΣσ(k)p(n-k)

において，σ(k)の漸近的振る舞い

　　1/n^2Σσ(k)〜π^2/12

を用いると，ｎが大きい場合の分割数の漸近挙動

　　p(n)〜exp(π√(2n/3))/4n√3

を得ることができます．このことから，p(n)は準指数関数と考えることができます（p(n)^(1/n)→1）．

　その後，分割関数はラーデマッハーによって修正され，完全な明示公式

　　p(n)=1/π√(2)Σk^(1/2)Ak(n)d/dn{sinh(πλn√(2/3))/λn}

　　λn=√(n-1/24)，Ak(n)には１の２４乗根が関係する

が与えられました（１９３７年）．

　分割関数の母関数

　　f(x)=Π(1-x^n)^(-1)={(1-x)(1-x^2)･･･(1-x^n)･･･}^(-1)

　　　　=Σp(n)x^n=1+p(1)x+p(2)x^2+p(3)x^3+･･･

は，本質的にモジュラー形式を与えるので，ラーデマッハーはその保型性から明示公式にたどりついたのですが，ハーディーとラマヌジャンはその第一近似式を得たことになります．

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