■ファウルハーバー・ヤコビ・ベルヌーイ(その3)

【3】ベルヌーイ

ベルヌーイはこの式の列を見て,次のようなパターンを発見しました.一般式の形で書くと,Ss=Σk^sは

  Ss=1/(s+1){B0n^(s+1)+s+1C1B1n^s+・・・+s+1CsBsn}

  =1/(s+1)Σ(K=0-s)(s+1,k)Bk(n+1)^(s+1-k)

と,ベルヌーイ数Bnを含む式で表すことができます.

[1]Σk^s=1^s+2^s+3^s+・・・+n^sはnのs+1次の多項式になる.また,すべてのΣk^sはn(n+1)を因数として含む.

[2]s+1次の係数は1/(s+1),s次の係数は1/2

[3]s−1次の係数は欠けない.

[4]s−3,s−5,s−7,・・・次の係数は欠けない.

[5]s−2,s−4,s−6,・・・次の係数は欠落.

 これより,

  Σk^s=1^s+2^s+3^s+・・・+n^s

=n^s+1/(s+1)+n^s/2+p/2・An^s-1+p(p−1)(p−2)/4!・Bn^s-3+p(p−1)(p−2)(p−3)(p−4)/6!・Cn^s-5+・・・

 A=1/6,B=−1/30,C=1/42,D=−1/30,E=5/66,F=−691/2730,G=7/6,・・・と続く.これがベルヌーイ数で,A〜GはB2〜B14になっている.

[6]s−1次の係数については,A=1/6として,

  A・p/2=A/2・pC1

[7]s−3次の係数については,B=−1/30として,

  B・p(p−1)(p−2)/4!=B/4・pC3

[8]s−5次の係数については,C=1/42として,

  C・p(p−1)(p−2)(p−3)(p−4)/6!=C/4・pC5

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