■ファウルハーバー・ヤコビ・ベルヌーイ(その1)

最初の11個のベルヌーイ数はベルヌーイよりもっと古い時代(1612-1619)、ファウルハーバーによって研究されていた。

 Ss=Σk^s=1^s+2^s+3^s+・・・+n^s

=n^(s+1)/(s+1)+n^s/2+1/2・C(s,1)・A・n^(s-1)+1/4・C(s,3)・B・n^(s-3)+1/6・C(s,5)・C・n^(s-5)+・・・

A=1/6,B=-1/30,C=1/42,D=-1/30,・・・

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【1】ファウルハーバー

ベキ和の公式

  Ss=Σk^s=1^s+2^s+3^s+・・・+n^s

S1=Σk=n(n+1)/2

S2=Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6

S3=Σk^3=n^2(n+1)^2/4

はよく知られている.

  1+2+3+・・・+n=n(n+1)/2

  1^2+2^2+3^2+・・・+n^2=n(n+1)(2n+1)/6=n(n+1/2)(n+1)/3

となれば,次は

  1^3+2^3+3^3+・・・+n^3=n(n+1/3)(n+2/3)(n+1)/4

が予想されるところですが,そうではなく,

  1^3+2^3+3^3+・・・+n^3={n(n+1)/2}^2

すなわち,3乗の和は和の2乗である

  1^3+2^3+3^3+・・・+n^3=(1+2+3+・・・+n)^2

高校ではここまでは周知であろうが,高校数学の指導要領よりレベルをあげると

  1^4+2^4+3^4+・・・+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n−1)/30

S4=Σk^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n−1)/30

S5=Σk^5=n^2(n+1)^2(2n^2+2n−1)/12

S6=Σk^6=n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3−3n+1)/42

S7=Σk^7=n^2(n+1)^2(3n^4+6n^3−n^2−4n+2)/24

S8=Σk^8=n(n+1)(2n+1)(5n^6+15n^5+5n^4−15n^3−n^2+9n−3)/90

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ファウルハーバーは,ベキ和の公式

  Ss=Σk^s=1^s+2^s+3^s+・・・+n^s

において,s=17まで計算して,

[1]sが奇数のとき,SsはS1の多項式で表されることを見出し,

[2]sが偶数のときもこのことが成り立つと予想した.

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