■制限のある分割から(その18)

 n=243の場合,p(243)=133978259344888に対して

  p(n)〜exp(π√(2n/3))/4n√3〜1.38×10^14

 ラマヌジャンはp(n)が満たす合同式について

  p(5n+4)=0  mod5

  p(7n+5)=0  mod7

  p(11n+6)=0  mod11

  p(599)=0  mod5^3

  p(721)=0  mod11^2

  p(25m+24)=0  (mod5^2)

  p(125m+99)=0  (mod5^3)

  p(49m+47)=0  (mod7^2)

を予想し,それらを証明しています.

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【5】粗い近似と詳しい近似

 p(100)=190569292

[1]p(n) 〜 1/4n√(3)exp(π√(2n/3))(1+O(n^-1/2)

 p(100)〜1.993×10^8

[2]p(n) 〜 1/4n√(3)exp(π√(2n/3))(1−1/π・√3/2n)(1+O(xexp(−π√(n/6))

  ここで,n←n−1/24

 p(100)〜1.90568944.783

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