■鳩ノ巣原理の例(その7)

【1】ディリクレの定理

無理数αの近似分数をa/bとすると,

  |α−p/q|<1/q^2

を満たす有理数p/qは無限個存在する(ディリクレの定理).たとえば,

  |√2−41/29|<1/29^2.30873<1/29^2

  |√2−577/408|<1/408^2.17296<1/408^2

無限個の有理数で

|α−p/q|<1/q^2

を満たすものが存在するというのは無理数特有の性質といえるが,条件を厳しくすると,たとえば,

  |π−p/q|<1/q^20

には,有限個の整数解(p,q)しかない.

それでは有限・無限の境界はどこにあるのだろうか?

|α−p/q|<1/q^k

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