■ヒーウッドの七色定理(その1)

【1】トーラス面上の七色定理

 平面や球面上に描かれた地図に関するオイラーの公式は

  v−e+f=2

であるが,トーラス上の地図に関するオイラーの公式は

  v−e+f=0

となる.平面(球面)の塗り分け問題は比較的最近解決されたが,トーラス上の地図の塗り分けについては,それ以前から7色必要な場合があり,また7色で常に十分であることが知られていた.

 

トーラスでは6個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることを証明するために,どの領域も少なくとも7つの領域で囲まれていると仮定すると

  7f≦2e

また,3v≦2eですから

  v−e+f≦2/7e−e+2/3e=−1/21e≠0

という矛盾を引き出すことができる.したがって,トーラスでは6個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることになり,このことを利用すると,

  「トーラス上のどんな地図でも7色で塗り分けられる」

ことが証明される.ヒーウッドは実際に7色を必要とする例もあげている.

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