［１］ロジャーズ・ラマヌジャンの第１恒等式

　　「１の位が１，４，６，９の数への分割と各因子の差が２以上ある分割とは同数ある．」

　１の位が１，４，６，９の数とはmod5で±１と合同になる整数のことです．分割の構成数の差が２以上という制限を設けた分割と構成数が５ｎ＋１または５ｎ＋４の分割は恒に等しいというののが第１恒等式で，例えば５を１，４，６，９に分割するのは4+1,1+1+1+1+1の２通り，各因子の差が２以上ある分割は5,4+1の２通り．

（証）ヤコビの３重積公式を使えば

　　Σs(n)x^n=Σq^(k^2)/(1-q)(1-q^2)･･･(1-q^k)=1/(1-q^5m-1)(1-q^5m-4)

すなわち

　　1+q/(1-q)+q^4/(1-q)(1-q^2)++q^9/(1-q)(1-q^2)(1-q^3)+･･･

　　=1/(1-q)(1-q^4)(1-q^6)(1-q^9)(1-q^11)(1-q^14)(1-q^19)･･･

である．

　この分割恒等式は無名の数学者ロジャーズ(1894)，また彼とは独立にラマヌジャン(1913)によって得られました．ロジャース・ラマヌジャン恒等式は，最初ロジャースにより発見されたのですが，誰の興味も惹かず忘れ去られていたところ，ラマヌジャンにより別証明が与えられたというわけです．

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［２］ロジャーズ・ラマヌジャンの第２恒等式

　　「１の位が２，３，７，８の数への分割と因子は２以上で各因子の差が２以上ある分割とは同数ある．」

　これはmod5で±２と合同になる整数のことです．例えば５を２，３，７，８に分割するのは3+2の１通り，因子は２以上で各因子の差が２以上ある分割は5の１通り．

（証）ヤコビの３重積公式を使えば

　　Σt(n)x^n=Σq^(k(k+1))/(1-q)(1-q^2)･･･(1-q^k)=1/(1-q^5m-2)(1-q^5m-3)

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［３］シューアの分割恒等式

　　「mod6で±１と合同になる整数への分割と，各因子の差が３以上あり，連続する３の倍数を含まないような分割とは同数ある．」

　例えば５をmod6で±１と合同になる整数に分割するのは5の１通り，各因子の差が３以上あり，連続する３の倍数を含まないような分割は5の１通り．

（証）

　　Σu(n)x^n=Π1/(1-x^6k-1)(1-x^6k-5)

　　Σv(n)x^n=Π(1+x^3k-1)(1+x^3k-2)

　　Σw(n)x^n=Π(1+x^k+x^2k)

の母関数は一致する．

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