【２】マクドナルドの定数項予想

　定数項予想を１次元格子上の問題と理解すると，アフィン・リー環の指標公式を用いて，より一般の格子（リー環のウェイト格子）上の問題に構成するという道筋がみえてくる．そして実際にルート系との関係を見抜いたのがマクドナルドである．

　ワイル群の基本不変式の次数をｄ1，ｄ2，・・・，ｄn-1，ｄnとすると

　　　　　　　　　ｄ1，ｄ2，・・・，ｄn-1，ｄn

　　Ａn 型　　　　２，３，・・・・，ｎ，ｎ＋１

　　Ｂn，Ｃn型　　２，４，，・・・，２（ｎ−１），２ｎ

　　Ｄn 型　　　　２，４，・・・・，２ｎ−２，ｎ

　マクドナルドによると，

　　ルート系の定数項＝Π（ｋｄi，ｋ）

であり，例えば，Ａn-1型ワイル群の基本不変式の次数はｄ1＝２，・・・ｄn-1＝ｎより

　　Π(kdi,k)=(2k,k)(3k,k)･･･(nk,k)=(nk)!/(k!)^n

この式はダイソンの定数項予想の式に一致する．

　同様に，

　　Ｂn型：(2k)!(4k)!･･･(2nk)!/{k!(3k)!･･･((2n-1)k)!(k!)^n}

　　Ｃn型：(2k)!(4k)!･･･(2nk)!/{k!(3k)!･･･((2n-1)k)!(k!)^n}

　　Ｄn型：(2k)!(4k)!･･･(2nk)!/{k!(3k)!･･･((2n-3)k)!((n-1)k)!((k!)^n}

となる．これらの統一的な表記法も知られているが，詳細については

　　［参］三町勝久「ダイソンからマクドナルドまで」群論の進化・第４章，朝倉書店

を参照されたい．

　マクドナルドの定数項予想は，ダイソンの定数項予想はＡk型離散系という特定のルート系の理論であって，それ以外の離散系に対応するのはＢk，Ｃk，Ｄkの理論であることを主張している．マクドナルドはもっと美しい世界があることに気がついたのであ

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