■制限のある分割から(その6)

【2】qダイソン予想

qダイソン予想とは

  Π(1−xiq^h/xj)(1−xjq^h+1/xi)

を展開したとき、qのベキだけを含み、xiを含まない項は、次の多項式

(1-q)(1-q^2)(1-q^3)・・・(1-q^a1+a2+・・・+an)/Π(1-q)(1-q^2)・・・(1-q^ai)

になるというものである。

1985年、ザイルバーガーとブレッソードによって証明された。

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 qアナログは量子化の概念に非常によく似た形で与えられるといったほうがわかりやすいかもしれない.したがって,階乗n!のqアナログは

  Π(1-q^k)/(1-q)

となるが,2項係数(n,m)=n!/m!(n-m)!のqアナログ(q-2項係数)を

  [n,m]

と書くことにして,さらに

  (a;q)n=(1-a)(1-aq)・・・(1-aq^(n-1))=Π(1-aq^k)

なる記号を導入すると

  (q;q)n=(1-q)(1-q^2)・・・(1-q^n)=Π(1-q^k)

になるので,

  [n,m]=(q;q)n/(q;q)m(q;q)n-m

 

 このようにして,2項定理

  (1+z)^n=Σ(n,m)z^m

のqアナログは

  (1+z)(1+zq)・・・(1+zq^(n-1))=(-z;q)n= Σ[n,m]q^(m(m-1)/2)・z^m

と表すことができる.

 

 また,これよりq-2項級数は

  (az;q)∞/(z;q)∞=Σ(a;q)m/(q;q)m・z^m

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