ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4はガウス整数Ｚ[i]の範囲でも解をもちえない

ｘ^3＋ｙ^3＝ｚ^3はアイゼンシュタイン整数Ｚ[ω]の範囲でも解をもちえない

ことから、直ちに

ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4は整数解をもちえない

ｘ^3＋ｙ^3＝ｚ^3は整数解をもちえない

ことが証明される。

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これらをさらに拡大して,

a0,a1,・・・,ap-2を整数

ζ=exp(2πi/p),pは奇素数とするとき

a0+a1ζ+a1ζ^2+・・・+ap-2ζ^p-2

の形の複素数を円分整数Ｚ[ζ]といい、Ｚ[ζ]を含む最小の体を円分体Ｑ[ζ]という。

ap-1ζ^p-1が入っていないのは

ζ^p-1=-(1+ζ+ζ^2+・・・+ζ^p-2)と書けることから、ζ^p-1は消去可能で、結果的に同じ集合が得られることになるからである。

一意性が成り立つためにはap-1ζ^p-1が入っていないほうが都合がよいのである。

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Ｚ[i]やＺ[ω]のように、素因数分解の一意性が成り立てばフェルマー予想の証明に活用できることから、さらに都合はよいのであるが、そうは問屋が卸さなかった

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円分体の整数Q（ξn）が素数の積として一通りに表されるようなｎ（≠２mod４）は次の30個である。

1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,15,16,17,19,20,21,24,25,27,28,32,33,35,40,44,45,48,60,84

さらに円分体の整数Q（ξn）がユークリッド整域であるのは、

1，3，4，5，7，8，9，11，12，15，16，20，24

ｎ＝32のときはユークリッド整域ではない。

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虚2次体Q（√-ｄ）の類数が1であるｄは

1,2,3,7,11,19,43,67,163の9個ある。

19,43,67,163に対して、その整数環はユークリッド整域ではない。

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実2次体Q（√ｄ）の整数環がノルムの絶対値に関してユークリッド整域となるのは

2，3，5，6，7，11，13，17，19，21，29，33，37，41，57，73

の16個である。

整除（余りを出す除法)のアルゴリズムを定義できる整域をユークリッド整域という。

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