■整数の拡大と素因数分解の一意性(その24)

x^4+y^4=z^4はガウス整数Z[i]の範囲でも解をもちえない

x^3+y^3=z^3はアイゼンシュタイン整数Z[ω]の範囲でも解をもちえない

ことから、直ちに

x^4+y^4=z^4は整数解をもちえない

x^3+y^3=z^3は整数解をもちえない

ことが証明される。

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これらをさらに拡大して,

a0,a1,・・・,ap-2を整数

ζ=exp(2πi/p),pは奇素数とするとき

a0+a1ζ+a1ζ^2+・・・+ap-2ζ^p-2

の形の複素数を円分整数Z[ζ]といい、Z[ζ]を含む最小の体を円分体Q[ζ]という。

ap-1ζ^p-1が入っていないのは

ζ^p-1=-(1+ζ+ζ^2+・・・+ζ^p-2)と書けることから、ζ^p-1は消去可能で、結果的に同じ集合が得られることになるからである。

一意性が成り立つためにはap-1ζ^p-1が入っていないほうが都合がよいのである。

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Z[i]やZ[ω]のように、素因数分解の一意性が成り立てばフェルマー予想の証明に活用できることから、さらに都合はよいのであるが、そうは問屋が卸さなかった

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円分体の整数Q(ξn)が素数の積として一通りに表されるようなn(≠2mod4)は次の30個である。

1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,15,16,17,19,20,21,24,25,27,28,32,33,35,40,44,45,48,60,84

さらに円分体の整数Q(ξn)がユークリッド整域であるのは、

1,3,4,5,7,8,9,11,12,15,16,20,24

n=32のときはユークリッド整域ではない。

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