ｅｘｐ（π√１６３）＝６４０３２０^3＋７４４

しかしながら，ゲルフォント・シュナイダーの定理より，ｅｘｐ（π√１６３）は超越数であって，整数にはならないことが証明されます．

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　　ｅｘｐ（π√１６３）＝262537412640768743.99999999999925007･･･

である．整数との差はわずか１兆分の１未満である．もしこれが整数になったら一大事であるが，見事としかいいようがない．

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝６４０３２０^3＋７４４−ε

　　ε＝７．５×１０^-13

　　｛ｌｏｇ（６４０３２０）^3＋７４４）／π｝^2＝１６３＋２．３２×１０^-33

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エイトケンは数を友とした数少ないひとりで、ｅｘｐ（π√１６３）が整数と１０^-12以下しか違わないことを発見している。

1859年、エルミートもこの事実を知っていたとのことである。

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