√１７はテオドロスによって無理数であることが示された最大の数である。

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【３】√３は無理数である

　　√３が無理数であることも同様に証明できます．

（証）ｐ，ｑを３で割り切れない２つの整数で，√３＝ｐ／ｑすなわちｐ^2＝３ｑ^2と仮定する．ｐは３で割り切れるから，ｐ＝３ｒという形に表すことができる．代入して３で割ると

　　３ｒ^2＝ｑ^2

が得られるが，ｑが３で割り切れることになり矛盾．

　２で割ることができない２つの整数の積は２で割ることができません．３で割ることができない２つの整数の積は３で割ることができません．この議論は５でも適用され，５で割ることができない２つの整数の積は５で割ることができません．しかし，６ではこの議論は適用できず，検証すべき場合分けが増えていきます．それでもこの議論を続けていけば√５，√６，√７，・・・も無理数であることを確認できるのですが，一般的にｎが平方数でなければ√ｎは無理数であることを証明するには不十分です．

テオドロスは√３から√１７までの，整数の平方でない数の平方根が無理数であることを明らかにし，そこで止めた．止めた理由については（疲れはててしまったのかもしれないが），その後は図が重なってしまい，それ以上は実証できなかったためともいわれている．

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