■カッシーニ曲線の拡張(その6)

【1】デルトイドの接線と接線の長さ

 デルトイド

  x=2cost+cos2t

  y=2sint−sin2t

の場合,tで微分すると

  x’=−2sint−2sin2t

  y’=2cost−2cos2t

ですから,

  dy/dx=−(cost−cos2t)/(sint+sin2t)

 これをmとおいて,

  y−y0=m(x−x0)

を整理すると,接線の方程式

  (1−cost)x+(sint)y=cost−cos2t

が得られる.

 また,エピサイクロイド(カージオイド,ネフロイドなど),ハイポサイクロド(デルトイド,アステロイドなど)は,サイクロイドとは異なり代数曲線であり,直交座標系におけるデルトイドの方程式は

  f(x,y)=x^2+12x+9+y^2−4(2x+3)^3

 =(x^2+y^2)^2+18(x^2+y^2)−8x(x^2−3y^2)−27=0

と表される.

  (1−cost)x+(sint)y=cost−cos2t

を代入するとxに関する4次方程式となるが,この方程式は

  (x−2cost−cos2t)^2

で割り切れるから,残りの2根は

  (x+2cost/2−cost)(x−2cost/2−cost)

より求めることができる.すなわち,π−t/2,2π−t/2となることが示される・・・はずである.しかし,実際にはこの因数分解は大変な複雑な作業となる.

  dy/dx=−(1−cost)/sint=−tant/2

すなわち,接ベクトルの偏角が−t/2であることに気づけばπ−t/2,2π−t/2を容易に示すことができる.その結果,

  P1(−2cost/2+cost, 2sint/2+sint)

  P2( 2cost/2+cost,−2sinθ/2+sint)

 これからP1P2=4(一定)となることがわかる.すなわち,デルトイドは3つの尖点をもつ図形であるが,デルトイドの接線が曲線に挟まれる部分の長さは一定であるという性質をもつのである.

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