２平方和定理「２より大きい素数が２つの整数ａ，ｂを用いて，ｐ＝ａ^2＋ｂ^2と表されるためには，ｐが４ｎ＋１型素数であることが必要十分である」は，ガウス整数の世界では

　　ｐ＝（ａ＋ｂｉ）（ａ−ｂｉ）

と素因数分解される条件を与えている定理であるとみることができる．

　　３ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋３ｙ^2の形に表すことができる．

　　４ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋ｙ^2の形に表すことができる．

　　４ｎ＋３型素数は，ｘ^2＋ｙ^2の形に表すことができない．

　　５ｎ＋１型素数は，ｘ^2−５ｙ^2の形に表すことができる．

　　５ｎ＋２型素数は，ｘ^2−５ｙ^2の形に表すことができない．

　　５ｎ＋３型素数は，ｘ^2−５ｙ^2の形に表すことができない．

　　５ｎ＋４型素数は，ｘ^2−５ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋１型素数は，ｘ^2−２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋３型素数は，ｘ^2−２ｙ^2の形に表すことができない．

　　８ｎ＋５型素数は，ｘ^2−２ｙ^2の形に表すことができない．

　　８ｎ＋７型素数は，ｘ^2−２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋３型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋５型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができない．

　　８ｎ＋７型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができない．

　　１２ｎ＋１型素数は，ｘ^2−３ｙ^2の形に表すことができる．

　　１２ｎ＋５型素数は，ｘ^2−３ｙ^2の形に表すことができない．

　　１２ｎ＋７型素数は，ｘ^2−３ｙ^2の形に表すことができない．

　　１２ｎ＋１１型素数は，ｘ^2−３ｙ^2の形に表すことができる．

　　２０ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋５ｙ^2の形に表すことができる．

　　２０ｎ＋９型素数は，ｘ^2＋５ｙ^2の形に表すことができる．

ではどうだろうか？

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　素数ｐがｘ^2＋ｎｙ^2の形に表せるという問題は，虚２次体Ｑ（√−ｎ）のイデアル類群が深い関係にあることを示唆している．

　　４ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋３型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　３ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋３ｙ^2の形に表すことができる．

　　７ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋７ｙ^2の形に表すことができる．

　　７ｎ＋２型素数は，ｘ^2＋７ｙ^2の形に表すことができる．

　　７ｎ＋４型素数は，ｘ^2＋７ｙ^2の形に表すことができる．

はそれぞれ虚２次体Ｑ（√−１），Ｑ（√−２），Ｑ（√−３），Ｑ（√−７）の類数が１であることが本質的なのである．

　１９６６年，ベイカーとスタークは独立に類数１の虚２次体Ｑ（√ｄ）すなわち（ｄ＜０，ｄは平方因子をもたない）なる２次体をすべて決定したが，それによると，

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

の９個に限られる．

　なお，類数１の実２次体Ｑ（√ｄ）は無数に存在するであろうというガウス予想は現在でも未解決である．

［補］虚２次体Ｑ（√ｄ）の整数環がユークリッド整域となるのは，

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１

の５つの場合に限る．実２次体Ｑ（√ｄ）に対しては

　　ｄ＝２，３，５，６，７，１１，１３，１７，１９，２１，２９，３３，３７，４１，５７，７３

に限ることが知られている．

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