■p=x^2+my^2の因数分解(その2)

pを奇素数とする。

p=x^2+my^2=(x+√(-m)y)(x-√(-m)y)  (x,yは整数)

となる因数分解が存在するための条件について考える。

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[1]4n+1型素数

  5=1^2+2^2

  13=2^2+3^2

  17=1^2+4^2

  29=2^2+5^2

  37=1^2+6^2

a^2+b^2の形に表されますが,4n+3型素数は表されません.

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[2]3n+1型素数

  7=2^2+3・1^2

  13=1^2+3・2^2

  19=4^2+3・1^2

  31=2^2+3・3^2

  37=5^2+3・2^2

a^2+3b^2の形に表されますが,3n+2型素数は表されません.

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[3]8n+1型,8n+3型素数

  3=1^2+2・1^2

  11=3^2+2・1^2

  17=3^2+2・2^2

  19=1^2+2・3^2

  41=3^2+2・4^2

a^2+2b^2の形に表されますが,8n+5型,8n+7型素数は表されません.

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[4]20n+1型,20n+9型素数は

a^2+5b^2の形に表されますが,20n+3型,20n+7型,20n+11型,20n+13型,20n+17型,20n+19型素数は表されません.

 29=3^2+5・2^2,41=6^2+1・2^2

 61=4^2+5・3^2,89=3^2+1・4^2

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[5]24n+1型,24n+7型素数は

a^2+6b^2の形に表されますが,24n+5型,24n+7型,24n+11型,24n+13型,24n+17型,24n+19型,24n+23型素数は表されません.

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