ｐｋ+1型素数はガウス素数・アイゼンシュタイン素数の拡張物の積に分解できるのではないか？

という予想に到達する。本当だろうか？

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a0,a1,・・・,ap-2を整数

ζ=exp(2πi/p),pは奇素数とするとき

a0+a1ζ+a1ζ^2+・・・+ap-2ζ^p-2

の形の複素数を円分整数Ｚ[ζ]といい、Ｚ[ζ]を含む最小の体を円分体Ｑ[ζ]という。

ap-1ζ^p-1が入っていないのは

ζ^p-1=-(1+ζ+ζ^2+・・・+ζ^p-2)と書けることから、ζ^p-1は消去可能で、結果的に同じ集合が得られることになるからである。

一意性が成り立つためにはap-1ζ^p-1が入っていないほうが都合がよいのである。

Ｚ[i]やＺ[ω]のように、素因数分解の一意性が成り立てばフェルマー予想の証明に活用できることから、さらに都合はよいのであるが、そうは問屋が卸さなかった

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クンマーは、ｐ＝5，7，11，13，17，19の場合にｐｋ+1型素数について、それをノルムとする円分整数が存在することを確かめた。

しかし、ｐ＝23に反例があったのである。ノルムが47、139，277，461，967，・・・となる円分整数が存在しないのである。

Ｚ（ζ）が素因数分解の一意性をもたないｐが存在することがわかって、フェルマー予想に決着をつけることは困難になってしまったのである。

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【４】クンマーの定理

それでもクンマーは諦めずに前進して、クンマーの定理「ｐが正則素数ならばフェルマー予想は正しい」のである。

最初のブレークスルーは１８５１年，クンマーによってなされました．クンマーは円分体の整数論の研究に専念し，正則素数であるすべてのｎに対してフェルマー予想が成立することを示したのです．正則素数ｐはＢp-3 までのベルヌーイ数Ｂ1，Ｂ2，・・・，Ｂp-3 の分子を割り切ることのできない素数として定義されていて，１００以下の非正則素数は３７，５９，６７ですべてですから，この３つの数以外では１００までのｎに対してフェルマー予想が正しいことが証明されたことになります．

クンマーの定理

フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，

　　Ｂk＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）

　　０＜ｋ＜１／２（ｐ−３），Ｂ1＝０，・・・，Ｂp-3＝０

［補］ベルヌーイ数の分子の素因数分解は，正則素数の議論に用いられる．奇素数ｐがベルヌーイ数Ｂ1，Ｂ2，・・・，Ｂp-3の分子のいずれをも割り切らないとき「正則素数」，いずれかを割り切るとき「非正則素数」という．１００以下の非正則素数は３７，５９，６７（１８５０年）であるが，１８７４年には１０１，１０３，１３１，１４９，１５９の非正則性も示された．

ｎ　　Ｂnの分子　　　　　　　　素因数分解

０　　１

１　　１

２　　１

４　　１

６　　１

８　　１

10　　５　　　　　　　　　　　　素数

12　　６９１　　　　　　　　　　素数

14　　７　　　　　　　　　　　　素数

16　　３６１７　　　　　　　　　素数

18　　４３８６７　　　　　　　　素数

20　　１７４６１１３　　　　　　＝２８３・６１７

22　　８５４５５１３　　　　　　＝１１・１３１・５９３

24　　２３６３６４０９１　　　　＝１０３・２２４７９７

26　　８５５３１０３３　　　　　＝１３・６５７９３１

28　　２３７４９４６１０２９　　＝７・９３４９・３６２９０３

30　　８６１５８４１２７６００５＝５・１７２１・１００１２５９８１１

32　　　　　　　　　　　　　　３７・６８３・３０５０６５９２７

［１］Ｂ22の分子は，ｐ＝１３１を素因数にもつ．

［２］Ｂ24の分子は，ｐ＝１０３を素因数にもつ．

［３］Ｂ32の分子は，ｐ＝３７を素因数にもつ．

［４］Ｂ44の分子は，ｐ＝５９を素因数にもつ．

［５］Ｂ58の分子は，ｐ＝６７を素因数にもつ．

ｘ以下の非正則素数の数をＩ（ｘ）と記すと

　　Ｉ（ｘ）／π（ｘ）〜1-exp(-1/2)＝0.39346･･･

正則素数の密度はexp(-1/2)．イェンゼンは非正則素数が無限個あることを証明した．一方，正則素数が無限個あることはいまだ証明されていない．

　マッキントッシュはベルヌーイ数Ｂp-3の分子を割り切る素数はウォルステンホルム素数であることを示した．ウォルステンホルム素数でいまのところ既知のものは１６８４３と２１２４６７９だけで，ｐ＝１６８４３，２１２４６７９はＢp-3の分子を割り切るのである．

クンマーの定理により，新たに

　　ｘ^11＋ｙ^11＝ｚ^11

　　ｘ^13＋ｙ^13＝ｚ^13

　　・・・・・・・・・・

の場合の解の非存在がわかったわけですが，たとえば，６９１の場合，

　　ｘ^691＋ｙ^691＝ｚ^691

に自然数解のないことはクンマーの定理からは証明できません．６９１は非正則素数６９１であり，ζ(12)／π^12の分子が６９１で割り切れるからです．

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