【２】ブラーマグプタの恒等式

また，ブラーマグプタの恒等式とは

　　（ｘ1^2−Ｎｙ1^2）（ｘ2^2−Ｎｙ2^2）＝（ｘ1ｘ2＋Ｎｙ1ｙ2）^2−Ｎ（ｘ1ｙ2＋ｘ2ｙ1）^2

　これは

　　ｘ^2−ｄｙ2＝（ｘ＋ｙ√ｄ）（ｘ−ｙ√ｄ）

から容易に確認できます．Ｎ＝−１とおくとフィボナッチの等式が得られます．

　（ｂｘ1^2＋ｃｙ1^2）（ｂｘ2^2＋ｃｙ2^2）＝（ｂｘ1ｘ2＋ｃｙ1ｙ2）^2＋ｂｃ（ｘ1ｙ2−ｘ2ｙ1）^2

はブラーマグプタの恒等式の１種です．以下の３恒等式も同様の恒等式としてよいかもしれません．

［１］（ｘ1^2＋５ｙ1^2）（ｘ2^2＋５ｙ2^2）＝（ｘ1ｘ2−５ｙ1ｙ2）^2＋５（ｘ1ｙ2＋ｘ2ｙ1）^2

［２］（２ｘ1^2＋２ｘ1ｙ1＋３ｙ1^2）（２ｘ2^2＋２ｘ2ｙ2＋３ｙ2^2）＝（２ｘ1ｘ2＋ｘ1ｙ2＋ｘ2ｙ1＋３ｙ1ｙ2）^2＋５（ｘ1ｙ2＋ｘ2ｙ1）^2

［３］（ｘ1^2＋５ｙ1^2）（２ｘ2^2＋２ｘ2ｙ2＋３ｙ2^2）＝２（２ｘ1ｘ2−ｘ1ｙ1−３ｙ1ｙ2）^2＋２（２ｘ1ｘ2−ｘ1ｙ1−３ｙ1ｙ2）（２ｘ1ｙ2＋２ｘ2ｙ1＋２ｙ1ｙ2）＋（２ｘ1ｙ2＋２ｘ2ｙ1＋２ｙ1ｙ2）^2

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