■整数の拡大と素因数分解の一意性(その11)

【3】アイゼンシュタインの整数環(3)

3平方和問題

  (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=u^2+v^2+w^2

は2平方和,4平方和の場合のようなわけにはいきません.3平方和の積が必ずしも3平方和とならないからです.しかし,

(a^2+ab+b^2)(x^2+xy+y^2)=u^2+uv+v^2

を示すことはできます.

[証明]1の3乗根をωとする. 1+ω+ω^2=0

a^2+ab+b2=(a−bω)(a−bω^2)

x^2+xy+y2=(x−yω)(x−yω^2)

u=ax−by,

v=ay+bx+by,

とおくと

  (a^2+ab+b^2)(x^2+xy+y^2)=u^2+uv+v^2

が成り立つ.

 同様に,

  (a^3+b^3+c^3−3abc)(x^3+y^3+z^3−3xyz)=u^3+v^3+w^3−3uvw

を示すことができます.

[証明]1の3乗根をωとする. 1+ω+ω^2=0

a^3+b^3+c^3−3abc=(a+b+c)(a+bω+cω^2)(a+bω^2+cω)

x^3+y^3+z^3−3xyz=(x+y+z)(x+yω+zω^2)(x+yω^2+zω)

u=ax+by+cz,

v=az+bx+cy,

w=ay+bz+cx

とおくと

  (a^3+b^3+c^3−3abc)(x^3+y^3+z^3−3xyz)=u^3+v^3+w^3−3uvw

が成り立つ.

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