ラマヌジャンの数

　　１７２９＝１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3＝７・１３・１９

は面白いが意外と厄介な数のようです．完全擬素数（カーマイケル数）でもあります．

［Ｑ］ｘ^3＋ｙ^3＝１７２９を満たす整数解（ｘ，ｙ）をすべて求めよ．

を整数論の立場から再考してみます．

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【１】アイゼンシュタインの整数環（１）

アイゼンスタインの整数

Ｚ［ω］＝｛ｍ＋ｎω｜ｍ，ｎは整数｝，ω＝（−１＋√−３）／２

には，６つの単数

　　±１，±ω，±ω^2

があり，正六角形の対称性をもつ三角格子をなします．単数を除いて，素因数分解の一意性が成立します．

２と６ｋ＋５型素数はＺ［ω］においても素数ですが，３と６ｋ＋１型の素数はＺで因数分解できます．

　　３＝（１−ω）（１−ω^2）＝（１＋ω）（１−ω）^2＝（１−ω）（２＋ω）

　　７＝（２−ω）（２−ω^2）

　　１３＝（３−ω）（３−ω^2）

　　１９＝（３−２ω）（３−２ω^2）

３７＝（４−３ω）（４−３ω^2）＝（４−３ω）（７＋３ω）

　　１７２９＝７・１３・１９

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