【７】クラインの整数環

ガウス整数とアイゼンスタイン整数はユークリッド整域であることがわかりましたが，それに続いて最も簡単な整数環はクラインの整数環

　Ｚ（λ）＝｛ａ＋ｂλ｜ａ，ｂは整数｝，λ＝（−１＋√−７）／２

です．クライン整数は２つの単数±１のみをもち，菱形格子をなします．クライン環では２が素因数分解されます．

　　２＝（−１＋√−７）／２・（−１−√−７）／２

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［補］２次形式ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2の判別式

　　Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ

の値が等しくなる同値でない２次形式の個数を「類数」と呼ぶ．

　類数の研究はラグランジュとガウスに始まる．とくに興味が持たれるのは類数の値が１となるＤがどれくらいあるかであった．

　その研究は徐々に進展し，１９５０年代になってヘーグナー，１９６７年にはスターク，ベイカーによって，類数１をもつＤは９つしかないことが示された．

　Ｄ＝−３，−４，−７，−８，−１１，−１９，−４３，−６７，−１６３

　ｄに直すと

　　ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

　後半の４つのｄに対して，Ｑ（√−ｄ）の整数環はユークリッド整域ではない．（整除すなわち余りを出す除法のアルゴリズムが定義できる整域をユークリッド整域という．）

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