【６】ガウスの整数環（４）

４で割って1余る素数は，複素数（ガウスの整数環）

Ｚ［ｉ］＝｛ｍ＋ｎｉ｜ｍ，ｎは整数｝

に範囲を広げると素数であり続けることはできず，分解されてしまい，それによって

ｐ＝ｘ^2+ｙ^2

の形にかけるのですが，

Ｚ［√-２］＝｛ｍ＋ｎ√-２｜ｍ，ｎは整数｝

では，８で割って1または３余る素数は分解されてしまい，それによって

ｐ＝ｘ^2+２ｙ^2

の形にかけることが証明できます．

　フェルマーは平方数と平方数の倍数の和として表される素数，すなわち

　　ｘ^2+ｍｙ^2＝ｐ

に一定の規則性を発見しました．

［１］４ｎ＋１型素数

　　５＝１^2＋２^2

　　１３＝２^2＋３^2

　　１７＝１^2＋４^2

　　２９＝２^2＋５^2

　　３７＝１^2＋６^2

ａ^2＋ｂ^2の形に表されますが，４ｎ＋３型素数は表されません．

［２］３ｎ＋１型素数

　　７＝２^2＋３・１^2

　　１３＝１^2＋３・２^2

　　１９＝４^2＋３・１^2

　　３１＝２^2＋３・３^2

　　３７＝５^2＋３・２^2

ａ^2＋３ｂ^2の形に表されますが，３ｎ＋２型素数は表されません．

［３］８ｎ＋１型，８ｎ＋３型素数

　　３＝１^2＋２・１^2

　　１１＝３^2＋２・１^2

　　１７＝３^2＋２・２^2

　　１９＝１^2＋２・３^2

　　４１＝３^2＋２・４^2

ａ^2＋２ｂ^2の形に表されますが，８ｎ＋５型，８ｎ＋７型素数は表されません．

［４］２０ｎ＋１型，２０ｎ＋９型素数は

ａ^2＋５ｂ^2の形に表されますが，２０ｎ＋３型，２０ｎ＋７型，２０ｎ＋１１型，２０ｎ＋１３型，２０ｎ＋１７型，２０ｎ＋１９型素数は表されません．

　２９＝３^2＋５・２^2，４１＝６^2＋１・２^2

　６１＝４^2＋５・３^2，８９＝３^2＋１・４^2

［５］２４ｎ＋１型，２４ｎ＋７型素数は

ａ^2＋６ｂ^2の形に表されますが，２４ｎ＋５型，２４ｎ＋７型，２４ｎ＋１１型，２４ｎ＋１３型，２４ｎ＋１７型，２４ｎ＋１９型，２４ｎ＋２３型素数は表されません．

素数ｐがｘ^2＋ｎｙ^2の形に表せるという問題は，虚２次体Ｑ（√−ｎ）のイデアル類群が深い関係にあることを示唆しています．

　　４ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋３型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　３ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋３ｙ^2の形に表すことができる．

　　７ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋７ｙ^2の形に表すことができる．

　　７ｎ＋２型素数は，ｘ^2＋７ｙ^2の形に表すことができる．

　　７ｎ＋４型素数は，ｘ^2＋７ｙ^2の形に表すことができる．

はそれぞれ虚２次体Ｑ（√−１），Ｑ（√−２），Ｑ（√−３），Ｑ（√−７）の類数が１であることが本質的なのです．

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