【３】ガウスの整数環（１）

ガウスの整数

Ｚ［ｉ］＝｛ｍ＋ｎｉ｜ｍ，ｎは整数｝

には，±１，±ｉの４個の単数があります．ガウス整数は正方形の対称性をもつ正方格子をなします．単数を除いて，素因数分解の一意性が成立します．４ｋ＋３型素数はＺにおいても素数ですが，２と４ｋ＋１型の素数はＺで因数分解できます．４で割って1余る素数は，複素数（ガウスの整数環）に範囲を広げると素数であり続けることはできず，分解されてしまうのです．

　　２＝（１＋ｉ）（１−ｉ）＝ｉ（１−ｉ）^2

　　５＝（２＋ｉ）（２−ｉ）

　　１３＝（２＋３ｉ）（２−３ｉ）

　　１７＝（４＋ｉ）（４−ｉ）

２９＝（５＋２ｉ）（５−２ｉ）

２および４ｋ＋１型素数はガウス素数の積に分解されます．４ｋ＋１型の素数は

　　ｐ＝ａ^2＋ｂ^2＝（ａ＋ｂｉ）（ａ−ｂｉ）

と分解されるので素数ではなくなるというわけです．

また，１＋２ｉや１−２ｉはガウス素数です．たとえば，１＋２ｉが

　　１＋２ｉ＝（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）

と素数の積に分解できたとすると，両辺に共役複素数

　　１−２ｉ＝（ａ−ｂｉ）（ｃ−ｄｉ）

をかけると

　　５＝（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）

となり，

　　（ａ^2＋ｂ^2，ｃ^2＋ｄ^2）＝（１，５），（５，１）

が成り立たなければなりませんが，このうち一方は単数になってしまいます．

　このとき，

　　５＝（２＋ｉ）（２−ｉ）

のような素因数分解ができるので，素因数分解が一意ではないという疑問を生じますが，実は

　　２＋ｉ＝ｉ（１−２ｉ），２−ｉ＝ｉ（１＋２ｉ）

のように単数だけの違いになってしまいます．このような理由から１＋２ｉや１−２ｉはガウス素数といえるのです．

一方，４ｋ＋３型素数はやはりガウス素数です．たとえば３が

　　３＝（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）

と素数の積に分解できたとすると，両辺に共役複素数

　　３＝（ａ−ｂｉ）（ｃ−ｄｉ）

をかけると

　　９＝（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）

となり，

　　（ａ^2＋ｂ^2，ｃ^2＋ｄ^2）＝（３，３），（１，９），（９，１）

が成り立たなければなりません．しかし，（３，３）を満たす整数は存在しませんし，（１，９），（９，１）では一方が単数となってしまいますから，３は素数といえるわけです．

(証)一般に，４ｎ＋３型素数ｐはガウス素数であることを示しておきたい．

　　ｐ＝（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）

とガウス素数の積に分解されるとすると

　　Ｎ（ａ＋ｂｉ）Ｎ（ｃ＋ｄｉ）＝ｐ^2

であるから，

　　Ｎ（ａ＋ｂｉ）＝Ｎ（ｃ＋ｄｉ）＝ｐ

　　ａ^2＋ｂ^2＝ｐ＝３　　（ｍｏｄ４）

でなければならない．

　しかし，（奇数）^2＝１，（偶数）^2＝０　　（ｍｏｄ４）であるから

　　ａ^2＋ｂ^2＝０，１，２　　（ｍｏｄ４）

ｐを素数として，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2を満たす整数ｘ，ｙが存在するための必要十分条件は

　　ｐ＝１（ｍｏｄ４）またはｐ＝２

であって，素数ｐが２または４ｎ＋１型素数のときに限り，

　　ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2＝（ｘ＋ｙｉ）（ｘ−ｙｉ）

ガウス整数として因数分解できるのである．

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